MathLabs

Bài 2

Cho các số thực a1,a2,a3,a4,a5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 thỏa mãn a1k2+1+a2k2+2+a3k2+3+a4k2+4+a5k2+5=1k2\frac{a_1}{k^2+1}+\frac{a_2}{k^2+2}+\frac{a_3}{k^2+3}+\frac{a_4}{k^2+4}+\frac{a_5}{k^2+5}=\frac1{k^2} với k=1,2,3,4,5k=1,2,3,4,5. Tìm giá trị của a137+a238+a339+a440+a541\frac{a_1}{37}+\frac{a_2}{38}+\frac{a_3}{39}+\frac{a_4}{40}+\frac{a_5}{41} (viết kết quả dưới dạng một phân số duy nhất).
Bước 3 trên 5: Xác định đồng nhất thức đa thức
Bước trướcBước tiếp
P(x)−x2Q(x)=−1120∏k=15(x2−k2)P(x)-x^2Q(x)=-\frac1{120}\prod_{k=1}^{5}(x^2-k^2)
Phân tích chi tiết

Hai vế có bậc nhiều nhất 1010, nên P(x)−x2Q(x)=A∏k=15(x2−k2)P(x)-x^2Q(x)=A\prod_{k=1}^5(x^2-k^2). Cho x=0x=0 được A=P(0)/[(−1)(−4)(−9)(−16)(−25)]=−1/120A=P(0)/[(-1)(-4)(-9)(-16)(-25)]=-1/120.