Math Labs

Bài 5

Larry và Rob là hai robot đi trong cùng một ô tô từ Argovia đến Zillis. Cả hai điều khiển tay lái theo thuật toán: Larry rẽ trái 90° sau mỗi ℓ\ell kilômét kể từ lúc xuất phát; Rob rẽ phải 90° sau mỗi rr kilômét, trong đó ℓ\ell và rr là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nếu hai lần rẽ xảy ra đồng thời, xe tiếp tục đi thẳng không đổi hướng. Giả sử mặt đất phẳng và xe có thể đi theo mọi hướng. Xe khởi hành từ Argovia hướng về Zillis. Với những cặp (ℓ,r)(\ell,r) nào xe chắc chắn đến Zillis, bất kể khoảng cách giữa hai nơi là bao nhiêu?
Bước 1 trên 6: Chia hành trình thành các đoạn
Bước trướcBước tiếp
one section=ℓr km,Δθ≡ℓ−r(mod4)\text{one section}=\ell r\text{ km},\quad \Delta\theta\equiv\ell-r\pmod4
Phân tích chi tiết

Xét các đoạn liên tiếp dài ℓr\ell r kilômét. Trong một đoạn có r−1r-1 lần rẽ trái và ℓ−1\ell-1 lần rẽ phải; hai lần rẽ đồng thời ở cuối đoạn triệt tiêu. Vì vậy độ quay tổng được quyết định bởi ℓ−r\ell-r modulo 44, và chuyển động lặp lại với hướng đầu đoạn thay đổi.