Bài 3

Một dãy số thực

a_0,a_1,\ldots

gọi là tốt nếu: (i)

a_0

là số nguyên dương; (ii) với mọi

i

không âm,

a_{i+1}=2a_i+1

hoặc

a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2}

; (iii) tồn tại số nguyên dương

k

sao cho

a_k=2014

. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất

n

để tồn tại dãy tốt có

a_n=2014

Bước 1 trên 4: Tuyến tính hóa hai phép biến đổi

Bước trước Bước tiếp

\frac1{a_{i+1}+1}=\frac1{2(a_i+1)}\quad\text{or}\quad\frac1{a_{i+1}+1}=\frac12\left(\frac1{a_i+1}+1\right)

Phân tích chi tiết

Đẳng thức nghịch đảo này suy ra trực tiếp từ hai phép chuyển cho phép. Lặp lại nó biểu diễn nghịch đảo của số đích cộng một dưới dạng tổ hợp afin nhị phân của nghịch đảo ban đầu cộng một.