MathLabs

Bài 3

Một dãy số thực a0,a1,…a_0,a_1,\ldots gọi là tốt nếu: (i) a0a_0 là số nguyên dương; (ii) với mọi ii không âm, ai+1=2ai+1a_{i+1}=2a_i+1 hoặc ai+1=aiai+2a_{i+1}=\frac{a_i}{a_i+2}; (iii) tồn tại số nguyên dương kk sao cho ak=2014a_k=2014. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất nn để tồn tại dãy tốt có an=2014a_n=2014.
Bước 4 trên 4: Tính thời gian quay lại nhỏ nhất
Bước trướcBước tiếp
2015=5⋅13⋅31,ord⁡2015(2)=lcm⁡(4,12,5)=602015=5\cdot13\cdot31,\qquad \operatorname{ord}_{2015}(2)=\operatorname{lcm}(4,12,5)=60
Phân tích chi tiết

Cấp của hai lần lượt theo môđun 5, 13 và 31 là 4, 12 và 5, vì 2^5=32 đồng dư 1 theo môđun 31; cấp theo tích của chúng là bội chung nhỏ nhất, bằng 60. Quỹ đạo ngược ở bước 60 có mẫu bằng một nên cho một dãy tốt, và không bước dương nhỏ hơn nào làm được. Vậy đáp số là 60.