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第5题

求所有满足 a0≥2015a_0\ge2015 的正整数列 a0,a1,a2,…a_0,a_1,a_2,\ldots，使对每个整数 n≥1n\ge1：(i) an+2a_{n+2} 被 ana_n 整除；(ii) ∣sn+1−(n+1)an∣=1|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1，其中 sn+1=an+1−an+an−1−⋯+(−1)n+1a0s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\cdots+(-1)^{n+1}a_0。
第 1/5 步：将绝对值条件转为递推
上一步下一步
sn+1=(n+1)an+hn,hn∈{−1,1},an+1=(n+1)an+nan−1+δn,δn∈{−2,0,2}s_{n+1}=(n+1)a_n+h_n,\quad h_n\in\{-1,1\},\qquad a_{n+1}=(n+1)a_n+na_{n-1}+\delta_n,\quad \delta_n\in\{-2,0,2\}
详细分析

引入符号 h_n。比较相邻两个交错和，并利用它们的和等于下一项这一恒等式，得到公式中的递推，误差项只可能取三个偶数值。