MathLabs

Bài 5

Tìm mọi hàm số f:R+→R+f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ sao cho (z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x)(z+1)f(x+y)=f(xf(z)+y)+f(yf(z)+x) với mọi số thực dương x,y,zx,y,z.
Bước 1 trên 8: ff không bị chặn trên
Bước trướcBước tiếp
x=y=1:2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)x=y=1:\quad 2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)
Phân tích chi tiết

Hàm đồng nhất f(x)=xf(x)=x rõ ràng thỏa mãn phương trình. Với một nghiệm tổng quát ff, thay x=y=1x=y=1 cho 2f(f(z)+1)=(z+1)f(2)2f(f(z)+1)=(z+1)f(2) với mọi z>0z>0. Khi zz chạy khắp mọi số thực dương, vế phải không bị chặn, nên ff không bị chặn trên.