Math Labs

Bài 3

Cho ABCABC là tam giác không cân với đường tròn ngoại tiếp Ω\Omega. Gọi MM là trung điểm BCBC. Một điểm PP thay đổi được chọn trên đoạn AMAM. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPMBPM và CPMCPM cắt Ω\Omega lần lượt lần thứ hai tại các điểm DD và EE. Các đường thẳng DPDP và EPEP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CPMCPM và BPMBPM lần thứ hai lần lượt tại các điểm XX và YY. Chứng minh rằng khi PP thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác AXYAXY luôn đi qua một điểm cố định TT khác AA.
Bước 1 trên 9: Định vị tâm đẳng phương thứ nhất trên đường thẳng AM
Bước trướcBước tiếp
N=radical center of Ω, ⊙(BPM), ⊙(CPM) ⟹ BD, CE, PM concur at N,N∈AMN=\text{radical center of }\Omega,\ \odot(BPM),\ \odot(CPM)\ \Longrightarrow\ BD,\ CE,\ PM\ \text{concur at}\ N,\quad N\in AM
Phân tích chi tiết

Gọi NN là tâm đẳng phương của Ω\Omega, ⊙(BPM)\odot(BPM), và ⊙(CPM)\odot(CPM). Các trục đẳng phương từng cặp là BDBD (điểm chung của Ω,⊙(BPM)\Omega,\odot(BPM)), CECE (điểm chung của Ω,⊙(CPM)\Omega,\odot(CPM)), và PMPM (điểm chung của ⊙(BPM),⊙(CPM)\odot(BPM),\odot(CPM)), nên ba đường thẳng này đồng quy tại NN. Vì PP và MM đều nằm trên đoạn AMAM, đường thẳng PMPM chính là đường thẳng AMAM, nên N∈AMN\in AM.