Bài 4

Xét bảng

2018\times2019

với một số nguyên được viết trong mỗi ô đơn vị. Hai ô đơn vị được gọi là láng giềng nếu chúng có chung một cạnh. Ở mỗi lượt, một số ô đơn vị được chọn; sau đó, với mỗi ô được chọn, trung bình cộng của tất cả các láng giềng của nó được tính, và cuối cùng, sau khi mọi phép tính này hoàn tất, số trong mỗi ô được chọn được thay bằng trung bình tương ứng. Có phải luôn luôn có thể làm cho các số trong mọi ô bằng nhau sau hữu hạn lượt?

Bước 1 trên 6: Làm việc theo môđun một số nguyên tố mà mọi bậc đều khả nghịch

Bước trước Bước tiếp

2^{-1}\equiv3,\quad 3^{-1}\equiv2,\quad 4^{-1}\equiv4\pmod5

Phân tích chi tiết

Mỗi ô có $2$ , $3$ , hoặc $4$ láng giềng, và $2,3,4$ đều khả nghịch theo môđun số nguyên tố $5$ . Vậy phép lấy trung bình có thể thực hiện hoàn toàn theo môđun $5$ bằng cách nhân với nghịch đảo tương ứng, và nếu một dãy lượt làm đồng nhất bảng số nguyên, áp dụng cùng dãy đó cho các thặng dư theo môđun $5$ cũng làm đồng nhất bảng theo môđun $5$ .