Bài 5

Xác định tất cả các hàm

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

sao cho

f(x^2+f(y))=f(f(x))+f(y^2)+2f(xy)

với mọi số thực

x

và

y

Bước 1 trên 9: Các giá trị cơ bản và một đẳng thức đối xứng

Bước trước Bước tiếp

f(0)=0;\qquad f(x^2)=f(f(x));\qquad f(x^2+f(y))=f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)=f(y^2+f(x))

Phân tích chi tiết

Đặt $x=y=0$ cho $f(f(0))=f(f(0))+3f(0)$ , nên $f(0)=0$ . Đặt $y=0$ khi đó cho $f(x^2)=f(f(x))$ với mọi $x$ . Dùng điều này, vế phải của phương trình gốc bằng $f(x^2)+f(y^2)+2f(xy)$ , đối xứng theo $x,y$ , nên $f(x^2+f(y))=f(y^2+f(x))$ với mọi $x,y$ ; gọi đẳng thức này là $(*)$ .