Bài 2

Chứng minh rằng

r=2

là số thực lớn nhất

r

thỏa mãn điều kiện sau: nếu một dãy

a_1,a_2,\ldots

các số nguyên dương thỏa mãn các bất đẳng thức

a_n\le a_{n+2}\le\sqrt{a_n^2+r\,a_{n+1}}

với mọi số nguyên dương

n

, thì tồn tại số nguyên dương

M

sao cho

a_{n+2}=a_n

với mọi

n\ge M

Bước 1 trên 6: Loại r>2 bằng một ví dụ tăng dần

Bước trước Bước tiếp

a=\left\lceil\tfrac{1}{r-2}\right\rceil,\quad a_n=a+\left\lfloor\tfrac{n}{2}\right\rfloor

Phân tích chi tiết

Giả sử $r>2$ và cố định số nguyên $a\ge 1/(r-2)$ . Đặt $a_n=a+\lfloor n/2\rfloor$ . Khi đó $a_n\le a_{n+2}=a_n+1$ , và vì $a_{n+1}\ge a_n\ge a\ge 1/(r-2)$ nên $(r-2)a_n\ge 1$ , tức $2a_n+1\le r\,a_n\le r\,a_{n+1}$ , do đó $a_{n+2}^2=(a_n+1)^2=a_n^2+2a_n+1\le a_n^2+r\,a_{n+1}$ . Vậy dãy này thỏa mãn giả thiết ứng với $r$ đó, nhưng $a_{n+2}=a_n+1\ne a_n$ với mọi $n$ , nên không tồn tại $M$ như vậy. Do đó $r$ không thể lớn hơn $2$ .