Bài 5

Cho

n\ge3

là số nguyên cố định. Số

1

được viết

n

lần trên bảng. Bên dưới bảng có hai chiếc thùng, ban đầu trống rỗng. Một nước đi gồm việc xóa hai số

a

và

b

, thay chúng bằng các số

1

và

a+b

, sau đó thêm một viên đá vào thùng thứ nhất và

\gcd(a,b)

viên đá vào thùng thứ hai. Sau một số hữu hạn nước đi, thùng thứ nhất có

s

viên đá và thùng thứ hai có

t

viên đá, với

s

và

t

là các số nguyên dương. Tìm tất cả các giá trị có thể có của tỉ số

\dfrac{t}{s}

Bước 1 trên 6: Đáp số

\frac{t}{s}\in\mathbb{Q}\cap[1,n-1)

Phân tích chi tiết

Các giá trị có thể của $t/s$ chính xác là các số hữu tỉ trong khoảng $[1,n-1)$ .