Math Labs

Bài 2

Với một đa thức PP và một số nguyên dương nn, định nghĩa PnP_n là số cặp số nguyên dương (a,b)(a,b) sao cho a<b≤na<b\le n và ∣P(a)∣−∣P(b)∣|P(a)|-|P(b)| chia hết cho nn. Xác định tất cả các đa thức PP với hệ số nguyên sao cho Pn≤2021P_n\le2021 với mọi số nguyên dương nn.
Bước 1 trên 6: Đáp số
Bước trướcBước tiếp
P(x)=x+d (d≥−2022)orP(x)=−x+d (d≤2022)P(x)=x+d\ (d\ge-2022)\quad\text{or}\quad P(x)=-x+d\ (d\le2022)
Phân tích chi tiết

Đáp số gồm hai họ P(x)=x+dP(x)=x+d với d≥−2022d\ge-2022 và P(x)=−x+dP(x)=-x+d với d≤2022d\le2022. Các bước sau chứng minh tính cần thiết từ một bổ đề về các số dư đôi một khác nhau, rồi kiểm tra các chặn này bằng cách đếm các cặp có giá trị tuyệt đối bằng nhau.