Bài 3

Tìm mọi số nguyên dương

k<202

sao cho tồn tại số nguyên dương

n

để

\left\{\frac{n}{202}\right\}+\left\{\frac{2n}{202}\right\}+\cdots+\left\{\frac{kn}{202}\right\}=\frac{k}{2},

trong đó

\{x\}

là phần lẻ của

x

. (Ở đây

\{x\}

là số thực

r

với

0\le r<1

sao cho

x-r

là số nguyên.)

Bước 1 trên 5: Xử lý riêng n=0 và n=101

Bước trước Bước tiếp

n=0\Rightarrow\text{sum}=0\ne\tfrac{k}{2};\qquad n=101\Rightarrow\text{condition holds}\iff k=1

Phân tích chi tiết

Vì $\{in/202\}$ chỉ phụ thuộc $n$ theo môđun $202$ , chỉ cần xét $0\le n<202$ . Nếu $n=0$ thì mọi số hạng đều bằng $0$ , nên phương trình sai với mọi $k$ . Nếu $n=101$ , kiểm tra trực tiếp thấy phương trình đúng chính xác khi $k=1$ . Từ đây giả sử $101\nmid n$ .