Bài 5

Vì hiển nhiên tồn tại các bộ $4$ số làm $P=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ âm, giá trị nhỏ nhất của $P$ thực sự âm. Nếu $s=(a+b+c+d)/4\ne0$, tịnh tiến mỗi biến đi $-s$ giữ nguyên mọi hiệu (nên giữ nguyên $P$) nhưng làm giảm thực sự $a^2+b^2+c^2+d^2$ xuống $1-4s^2<1$; nhân bộ đã dịch với $(1-4s^2)^{-1/2}>1$ khôi phục tổng bình phương bằng đơn vị và nhân số âm $P$ với $(1-4s^2)^{-2}>1$, làm nó âm hơn nữa. Do đó mọi điểm cực tiểu đều thỏa $a+b+c+d=0$.