MathLabs

Bài 1

Cho n≥5n\ge5 là một số nguyên. Xét nn hình vuông có độ dài cạnh lần lượt là 1,2,…,n1,2,\ldots,n. Các hình vuông được xếp trên mặt phẳng sao cho các cạnh song song với trục xx và trục yy. Giả sử không có hai hình vuông nào chạm nhau, ngoại trừ có thể tại đỉnh của chúng. Chứng minh rằng có thể xếp các hình vuông này sao cho mỗi hình vuông chạm đúng hai hình vuông khác.
Bước 1 trên 3: Chia {1,...,n-4} sao cho hiệu hai tổng bằng 1 hoặc 2
Bước trướcBước tiếp
{1,…,n−4}=A⊔B,∑a∈Aa−∑b∈Bb∈{1,2}\{1,\ldots,n-4\}=A\sqcup B,\qquad \sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b\in\{1,2\}
Phân tích chi tiết

Tách riêng bốn hình vuông lớn nhất có cạnh n−3,n−2,n−1,nn-3,n-2,n-1,n. Từ các độ dài còn lại {1,…,n−4}\{1,\ldots,n-4\}, liên tiếp tách từ trên xuống các khối bốn số nguyên liên tiếp {t,t+1,t+2,t+3}\{t,t+1,t+2,t+3\}, đưa t,t+3t,t+3 vào AA và t+1,t+2t+1,t+2 vào BB (đóng góp 00 vào hiệu hai tổng), cho tới khi còn lại r∈{1,2,3,4}r\in\{1,2,3,4\} số nhỏ nhất. Đưa {1}\{1\} vào AA nếu r=1r=1 (hiệu 11); 2∈A2\in A, 1∈B1\in B nếu r=2r=2 (hiệu 11); 1,3∈A1,3\in A, 2∈B2\in B nếu r=3r=3 (hiệu 22); 2,4∈A2,4\in A, 1,3∈B1,3\in B nếu r=4r=4 (hiệu 22). Do đó ∑a∈Aa−∑b∈Bb∈{1,2}\sum_{a\in A}a-\sum_{b\in B}b\in\{1,2\}.