Math Labs

Bài 1

Cho tam giác nhọn ABCABC. Gọi DD là điểm trên cạnh ABAB và EE là điểm trên cạnh ACAC sao cho các đường thẳng BCBC và DEDE song song. Gọi XX là điểm trong tứ giác BCEDBCED. Giả sử các tia DXDX và EXEX cắt cạnh BCBC lần lượt tại PP và QQ, với cả PP và QQ đều nằm giữa BB và CC. Giả sử đường tròn ngoại tiếp các tam giác BQXBQX và CPXCPX cắt nhau tại điểm Y≠XY\neq X. Chứng minh rằng các điểm AA, XX, YY thẳng hàng.
Bước 1 trên 5: Đặt S trên đường tròn qua D, E, X
Bước trướcBước tiếp
S=(BQX)∩AB, S≠BS=(BQX)\cap AB,\ S\neq B
Phân tích chi tiết

Gọi đường tròn ngoại tiếp BQXBQX cắt đường thẳng ABAB lần nữa tại SS. Vì DE∥BCDE\parallel BC, đường thẳng cắt EXQEXQ cho ∠DEX=∠XQC\angle DEX=\angle XQC (góc so le). Vì B,Q,X,SB,Q,X,S cùng thuộc một đường tròn và CC nằm trên tia BQBQ kéo dài quá QQ, góc ngoài ∠XQC\angle XQC bằng góc trong đối diện ∠XSD\angle XSD. Do đó ∠DEX=∠XSD\angle DEX=\angle XSD, nên D,E,X,SD,E,X,S đồng viên.