将上一步的 nnn 个不等式相加，相邻层之间的公共项全部抵消，只剩下每个左边的第一项以及最高层的项 An(1)=1/2nA_n(1)=1/2^nAn(1)=1/2n；由此得到 ∑i=1nAi(ai)+12n≥A0(a1a2⋯an)\sum_{i=1}^nA_i(a_i)+\frac{1}{2^n}\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)∑i=1nAi(ai)+2n1≥A0(a1a2⋯an)，这恰好就是 ∑i=1n12i(21+ai)2i≥21+a1a2⋯an−12n\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}∑i=1n2i1(1+ai2)2i≥1+a1a2⋯an2−2n1，等号当且仅当 a1=a2=⋯=an=1a_1=a_2=\cdots=a_n=1a1=a2=⋯=an=1 时取得。