Math Labs

Bài 5

Đường thẳng ℓ\ell cắt các cạnh BCBC và ADAD của tứ giác nội tiếp ABCDABCD lần lượt tại các điểm trong RR và SS, và cắt tia DCDC kéo dài quá điểm CC tại QQ, cắt tia BABA kéo dài quá điểm AA tại PP. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác QCRQCR và QDSQDS cắt nhau tại N≠QN\neq Q, còn đường tròn ngoại tiếp các tam giác PASPAS và PBRPBR cắt nhau tại M≠PM\neq P. Gọi các đường thẳng MPMP và NQNQ cắt nhau tại điểm XX, các đường thẳng ABAB và CDCD cắt nhau tại điểm KK, và các đường thẳng BCBC và ADAD cắt nhau tại điểm LL. Chứng minh rằng điểm XX nằm trên đường thẳng KLKL.
Bước 1 trên 6: M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
Bước trướcBước tiếp
M,N,P,Q are concyclicM,N,P,Q\text{ are concyclic}
Phân tích chi tiết

Điểm MM là điểm Miquel của các đường thẳng ABAB, ℓ\ell, ADAD, BCBC ứng với cấu hình quanh P,S,A,R,BP,S,A,R,B, còn NN là điểm Miquel của các đường thẳng CDCD, BCBC, ℓ\ell, ADAD quanh Q,R,C,S,DQ,R,C,S,D. Dùng góc định hướng và các tứ giác nội tiếp QNRCQNRC, PMASPMAS, ABCDABCD, ta tính được ∠NMP=∠NRQ+∠DAB=∠NRQ+∠QNR=∠NQP\angle NMP=\angle NRQ+\angle DAB=\angle NRQ+\angle QNR=\angle NQP, nên M,N,Q,PM,N,Q,P đồng viên.