Math Labs

Bài 2

Cho α\alpha và β\beta là các số thực dương. Emerald thực hiện một chuyến đi trong mặt phẳng tọa độ, xuất phát từ gốc (0,0)(0,0). Mỗi phút cô di chuyển một đơn vị lên trên hoặc một đơn vị sang phải, giới hạn trong miền ∣x−y∣<2025|x-y|<2025 của mặt phẳng tọa độ. Khi đến một điểm (x,y)(x,y), cô ghi số nguyên ⌊xα+yβ⌋\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor lên đó. Hóa ra Emerald đã ghi mỗi số nguyên không âm đúng một lần. Tìm tất cả các cặp (α,β)(\alpha,\beta) để chuyến đi như vậy là có thể.
Bước 1 trên 6: Tổng tọa độ luôn bằng số bước
Bước trướcBước tiếp
xn+yn=nx_n+y_n=n
Phân tích chi tiết

Gọi (xn,yn)(x_n,y_n) là điểm đến được sau nn phút. Mỗi phút làm tăng đúng một tọa độ thêm 11, nên xn+1+yn+1=xn+yn+1x_{n+1}+y_{n+1}=x_n+y_n+1; vì x0+y0=0x_0+y_0=0, điều này cho xn+yn=nx_n+y_n=n với mọi nn.