Math Labs

Bài 1

Tìm mọi bộ bốn số nguyên dương (a,p,m,o)(a, p, m, o) với o≥2o \ge 2 sao cho a!+p!=mo+26a! + p! = m^o + 26.
Bước 1 trên 5: Đưa về p≤3p \le 3
Bước trướcBước tiếp
o≥2, p≥4  ⟹  4∣a!, 4∣p!  ⟹  mo=a!+p!−26≡2(mod4)o\ge2,\ p\ge4 \implies 4\mid a!,\ 4\mid p! \implies m^{o}=a!+p!-26\equiv2\pmod4
Phân tích chi tiết

Không mất tính tổng quát, giả sử a≥pa\ge p. Nếu p≥4p\ge4 thì cả a!a! và p!p! đều chia hết cho 44, nên mo=a!+p!−26≡−26≡2(mod4)m^o=a!+p!-26\equiv-26\equiv2\pmod4. Nhưng với o≥2o\ge2, mom^o là số lẻ nếu mm lẻ và chia hết cho 44 nếu mm chẵn, nên mo≡2(mod4)m^o\equiv2\pmod4 là vô lý. Vậy p∈{1,2,3}p\in\{1,2,3\}.