Math Labs

Bài 5

Cho hình lập phương ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' với AA ở trên A′A', BB ở trên B′B' và tương tự. Gọi XX là điểm bất kỳ trên đường chéo mặt ACAC và YY là điểm bất kỳ trên B′D′B'D'. (a) Tìm quỹ tích trung điểm của XYXY. (b) Tìm quỹ tích điểm ZZ trên XYXY sao cho ZY=2XZZY=2XZ.
Bước 1 trên 5: Chọn hệ tọa độ cho hình lập phương
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hai vị trí tự do là hai tham số độc lập, nên quỹ tích là ảnh của một hình vuông tham số.

A=(0,0,1), B=(1,0,1), C=(1,1,1), D=(0,1,1), A′=(0,0,0), B′=(1,0,0), D′=(0,1,0)A=(0,0,1),\ B=(1,0,1),\ C=(1,1,1),\ D=(0,1,1),\ A'=(0,0,0),\ B'=(1,0,0),\ D'=(0,1,0)
Hình lập phương giúp định hướng hai mặt song song và các đường chéo.
Minh họa hình lập phương ba chiều để định hướng hai mặt trên và dưới trong bài toán quỹ tích.
Phân tích chi tiết

Lấy cạnh lập phương bằng 11, đặt ABCDABCD trên mặt phẳng z=1z=1 và A′B′C′D′A'B'C'D' trên z=0z=0. Khi đó XX và YY nằm trên các đường chéo của hai mặt phẳng song song, nên cả hai câu hỏi quỹ tích đều trở thành phép tính tọa độ afin.