MathLabs

Bài 6

Một hình nón tròn xoay có một hình cầu nội tiếp tiếp xúc với đáy và mặt bên. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu, với đáy nằm trong mặt phẳng đáy hình nón. Gọi thể tích hình nón và hình trụ lần lượt là V1V_1 và V2V_2: (a) chứng minh V1≠V2V_1\ne V_2; (b) tìm giá trị nhỏ nhất của V1/V2V_1/V_2, và trong trường hợp đó dựng nửa góc ở đỉnh hình nón.
Bước 1 trên 4: Biểu diễn kích thước hình nón từ điều kiện tiếp xúc
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Bán kính cầu là thang đo tự nhiên; chỉ còn nửa góc là tham số hình dạng.

VO=r(1+1sin⁡θ),R=r(1+1sin⁡θ)tan⁡θVO=r\left(1+\dfrac1{\sin\theta}\right),\quad R=r\left(1+\dfrac1{\sin\theta}\right)\tan\theta
Phân tích chi tiết

Gọi VV là đỉnh, OO là tâm cầu, XX là tâm đáy hình nón và rr là bán kính cầu. Trong tam giác vuông thiết diện trục, VO=r/sin⁡θVO=r/\sin\theta vì cầu tiếp xúc mặt bên, còn OX=rOX=r vì cầu tiếp xúc đáy. Do đó chiều cao hình nón là H=VX=r(1+1/sin⁡θ)H=VX=r(1+1/\sin\theta) và bán kính đáy là R=Htan⁡θR=H\tan\theta.