MathLabs

第7問

四面体 SABCSABC は、辺 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB またはその延長線のそれぞれすべてに接する球が5個存在するという性質をもつ。(a) 四面体 SABCSABC が正四面体であることを証明せよ。(b) 逆に、任意の正四面体にそのような5個の球が存在することを証明せよ。
ステップ 1/6: 最小球と辺上の接点を選ぶ
PSA,PSB,PSC,PBC,PCA,PAB=tangency points of the smallest sphereP_{SA},P_{SB},P_{SC},P_{BC},P_{CA},P_{AB}=\text{tangency points of the smallest sphere}
詳しい解説

(a) では5球のうち最小の球を選ぶ。6本の辺の直線 SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB 上の接点をそれぞれ PSA,PSB,PSC,PBC,PCA,PABP_{SA},P_{SB},P_{SC},P_{BC},P_{CA},P_{AB} とする。