Math Labs

Bài 7

Tứ diện SABCSABC có tính chất sau: tồn tại năm mặt cầu, mỗi mặt cầu tiếp xúc với các cạnh SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB hoặc phần kéo dài của chúng. (a) Chứng minh tứ diện SABCSABC là tứ diện đều. (b) Chứng minh ngược lại rằng với mọi tứ diện đều đều tồn tại năm mặt cầu như vậy.
Bước 1 trên 6: Chọn mặt cầu nhỏ nhất và các điểm tiếp xúc cạnh
Bước trướcBước tiếp
PSA,PSB,PSC,PBC,PCA,PAB=tangency points of the smallest sphereP_{SA},P_{SB},P_{SC},P_{BC},P_{CA},P_{AB}=\text{tangency points of the smallest sphere}
Phân tích chi tiết

Ở phần (a), chọn mặt cầu nhỏ nhất trong năm mặt cầu. Gọi các điểm tiếp xúc của nó với sáu đường thẳng cạnh SA,SB,SC,BC,CA,ABSA,SB,SC,BC,CA,AB lần lượt là PSA,PSB,PSC,PBC,PCA,PABP_{SA},P_{SB},P_{SC},P_{BC},P_{CA},P_{AB}.