Math Labs

Bài 6

Trong tứ diện ABCDABCD, nối đỉnh DD với D0D_0, trọng tâm của △ABC\triangle ABC. Qua A,B,CA,B,C kẻ các đường song song với DD0DD_0, lần lượt gặp các mặt phẳng BCD,CAD,ABDBCD,CAD,ABD tại A1,B1,C1A_1,B_1,C_1. Chứng minh thể tích ABCDABCD bằng một phần ba thể tích A1B1C1D0A_1B_1C_1D_0. Kết quả có còn đúng nếu chọn D0D_0 tùy ý trong △ABC\triangle ABC không?
Bước 1 trên 5: Biểu diễn trọng tâm
Bước trướcBước tiếp
D0=A+B+C3D_0=\frac{A+B+C}{3}
Hình tứ diện minh họa bốn đỉnh và phép dựng trọng tâm.
Hình tứ diện ba chiều giúp định hướng ABCD và trọng tâm D0.
Phân tích chi tiết

Dùng vectơ afin với DD làm gốc. Vì D0D_0 là trọng tâm nên vectơ của nó là (A+B+C)/3(A+B+C)/3.