Math Labs

Bài 3

Cho tứ diện ABCDABCD, trong đó hai cạnh đối ABAB và CDCD có độ dài aa và bb. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là dd và góc giữa chúng là θ\theta. Một mặt phẳng song song với cả ABAB và CDCD chia tứ diện thành hai khối. Tỉ số khoảng cách từ mặt phẳng đến ABAB và CDCD là kk. Tính tỉ số thể tích của hai khối.
Bước 1 trên 5: Tìm tỉ số chung của thiết diện
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Các lát cắt song song giữ một hệ số tỉ lệ afin trên mọi cạnh.

AXXD=BYYD=BZZC=AWWC=k1,qquadAXAD=kk+1.\frac{AX}{XD}=\frac{BY}{YD}=\frac{BZ}{ZC}=\frac{AW}{WC}=\frac{k}{1},\\qquad \frac{AX}{AD}=\frac{k}{k+1}.
Tứ diện trong cấu hình mặt phẳng song song
Một tứ diện 3D bán trong suốt minh họa cấu hình không gian với mặt phẳng song song hai cạnh đối.
Phân tích chi tiết

Gọi mặt phẳng cắt AD,BD,BC,ACAD,BD,BC,AC lần lượt tại X,Y,Z,WX,Y,Z,W. Vì mặt phẳng song song với hai cạnh đối, khoảng cách trên các đường cắt biến thiên tuyến tính; tỉ số khoảng cách cho AX:XD=k:1AX:XD=k:1. Cùng tỉ phần đó xuất hiện trên mọi cạnh từ đỉnh tương ứng.