Math Labs

Bài 6

Trong mặt phẳng cho một tập nn điểm, nge3n\\ge3, và nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Gọi dd là độ dài đoạn dài nhất. Một đường kính là đoạn nối có độ dài dd. Chứng minh số đường kính không vượt quá nn.
Bước 1 trên 4: Chứng minh bổ đề giao nhau
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Các dây dài cực đại không thể nằm rời nhau: một đoạn nối chéo sẽ dài hơn.

PQ=RS=d,quadPQcapRS=varnothingLongrightarrowsome cross-distance is >d.PQ=RS=d,\\quad PQ\\cap RS=\\varnothing\\Longrightarrow\text{some cross-distance is }>d.
Phân tích chi tiết

Giả sử hai đường kính PQPQ và RSRS rời nhau. Tại đầu mút QQ, góc giữa QPQP và QRQR nhỏ hơn 90∘90^\circ; nếu không, theo định lý cosin, PR>dPR>d. Lập luận tương tự ở mọi đầu mút khiến cả bốn góc của tứ giác đều nhọn, điều này không thể. Vậy hai đường kính bất kỳ phải giao nhau hoặc có chung đầu mút.