Math Labs

Bài 4

Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên nn và mọi số thực xx sao cho không mẫu số nào triệt tiêu (tức x≠kπ2tx\ne \frac{k\pi}{2^t} với t=0,1,…,nt=0,1,\dots,n và kk nguyên): 1sin⁡2x+1sin⁡4x+1sin⁡8x+⋯+1sin⁡2nx=cot⁡x−cot⁡2nx.\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx.
Bước 1 trên 5: Chứng minh bổ đề then chốt
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Chỉ một đẳng thức này, khi áp dụng với y=2k−1xy=2^{k-1}x, sinh ra số hạng rút gọn kiểu kính viễn vọng cho mọi số hạng trong bài toán.

cot⁡y−cot⁡2y=1sin⁡2y\cot y - \cot 2y = \frac{1}{\sin 2y}
Phân tích chi tiết

Viết cot⁡y−cot⁡2y=cos⁡ysin⁡y−cos⁡2ysin⁡2y=cos⁡ysin⁡y−2cos⁡2y−12sin⁡ycos⁡y=2cos⁡2y−(2cos⁡2y−1)2sin⁡ycos⁡y=12sin⁡ycos⁡y=1sin⁡2y\cot y-\cot 2y=\frac{\cos y}{\sin y}-\frac{\cos 2y}{\sin 2y}=\frac{\cos y}{\sin y}-\frac{2\cos^2y-1}{2\sin y\cos y}=\frac{2\cos^2y-(2\cos^2y-1)}{2\sin y\cos y}=\frac{1}{2\sin y\cos y}=\frac{1}{\sin 2y}, dùng cos⁡2y=2cos⁡2y−1\cos 2y=2\cos^2y-1 và sin⁡2y=2sin⁡ycos⁡y\sin 2y=2\sin y\cos y.