Math Labs

Bài 5

Giải hệ phương trình sau với các ẩn thực x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4: ∣a1−a2∣x2+∣a1−a3∣x3+∣a1−a4∣x4=1∣a2−a1∣x1+∣a2−a3∣x3+∣a2−a4∣x4=1∣a3−a1∣x1+∣a3−a2∣x2+∣a3−a4∣x4=1∣a4−a1∣x1+∣a4−a2∣x2+∣a4−a3∣x3=1\begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned} trong đó a1a_1, a2a_2, a3a_3, a4a_4 là các số thực đôi một khác nhau.
Bước 1 trên 7: Cố định một thứ tự cho các aia_i
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Việc cố định thứ tự không tốn công gì (chỉ là đổi tên), nhưng nó biến mỗi ∣ai−aj∣|a_i-a_j| thành một hiệu thông thường, và đó là điều làm cho phép khử tuyến tính khả thi.

a1>a2>a3>a4a_1>a_2>a_3>a_4
Phân tích chi tiết

Hệ phương trình đối xứng khi đổi tên đồng thời mọi chỉ số, nên ta có thể đánh số lại 1,2,3,41,2,3,4 sao cho a1>a2>a3>a4a_1>a_2>a_3>a_4. Với thứ tự này, ∣ai−aj∣=amax⁡(i,j)−amin⁡(i,j)|a_i-a_j|=a_{\max(i,j)}-a_{\min(i,j)} với mọi cặp, nhờ đó khử hết trị tuyệt đối trong hệ.