Bài 1

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam giác có độ dài các cạnh là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một góc gấp đôi một góc khác.

Bước 1 trên 6: Thiết lập ký hiệu góc và cạnh

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Hãy hình dung việc kéo dài hay thu nhỏ một tam giác trong khi vẫn giữ tỉ lệ hai góc tại hai đỉnh là $2:1$ ; khi hình dạng thay đổi liên tục, tỉ lệ giữa các cạnh cũng thay đổi theo. Điều kiện các cạnh là số nguyên liên tiếp lại rất chặt và rời rạc, nên có thể đoán rằng chỉ một vài hình dạng (có lẽ chỉ một) thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện.

\angle BAC = 2\alpha, \quad \angle ABC = \alpha, \quad BC=a,\ CA=b,\ AB=c

Phân tích chi tiết

Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC = \alpha$ và $\angle BAC = 2\alpha$ , và đặt $a=BC$ , $b=CA$ , $c=AB$ là độ dài các cạnh đối diện lần lượt với $A$ , $B$ , $C$ . Ba cạnh là ba số nguyên dương liên tiếp theo một thứ tự nào đó; mục tiêu là tìm mọi tam giác như vậy trong đó một góc đúng bằng hai lần một góc khác, và chỉ ra rằng chỉ có duy nhất một tam giác như thế.