Math Labs

Bài 2

Cho a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n là các hằng số thực và xx là số thực. Đặt f(x)=cos⁡(a1+x)+12cos⁡(a2+x)+⋯+12n−1cos⁡(an+x)f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\cdots+\frac1{2^{n-1}}\cos(a_n+x). Biết f(x1)=f(x2)=0f(x_1)=f(x_2)=0, chứng minh x2−x1=mπx_2-x_1=m\pi với một số nguyên mm.
Bước 1 trên 4: Gom các hệ số sin và cos
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Mọi số hạng có cùng tần số, nên các pha chỉ làm thay đổi hai hệ số chứ không làm đổi tần số.

f(x)=Bcos⁡x−Csin⁡x,B=∑j=1n21−jcos⁡aj,C=∑j=1n21−jsin⁡ajf(x)=B\cos x-C\sin x,\quad B=\sum_{j=1}^n2^{1-j}\cos a_j,\quad C=\sum_{j=1}^n2^{1-j}\sin a_j
Phân tích chi tiết

Dùng cos⁡(aj+x)=cos⁡ajcos⁡x−sin⁡ajsin⁡x\cos(a_j+x)=\cos a_j\cos x-\sin a_j\sin x cho từng số hạng. Do đó tổng có dạng f(x)=Bcos⁡x−Csin⁡xf(x)=B\cos x-C\sin x, trong đó B,CB,C không phụ thuộc xx.