Math Labs

Bài 3

Với mỗi k=1,2,3,4,5k=1,2,3,4,5, hãy tìm điều kiện cần và đủ của a>0a>0 để tồn tại một tứ diện có kk cạnh dài aa và 6−k6-k cạnh còn lại dài 11.
Bước 1 trên 5: Xử lý một và năm cạnh dài
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Bản lề hai tam giác cứng làm một khoảng cách thay đổi liên tục; các vị trí phẳng chính là hai đầu mút suy biến bị loại.

0<a<3(k=1),a>13(k=5)0<a<\sqrt3\quad(k=1),\qquad a>\frac1{\sqrt3}\quad(k=5)
Tứ diện minh họa có bốn đỉnh và sáu cạnh; độ dài cạnh trong bài thi không theo tỉ lệ hình vẽ.
Một tứ diện tam giác có bốn đỉnh và sáu cạnh, hơi tách ra để làm rõ các mặt.
Phân tích chi tiết

Với k=1k=1, gọi cạnh duy nhất dài aa là ABAB và bản lề hai tam giác đều đơn vị ACDACD và BCDBCD quanh CDCD. Trong các vị trí không suy biến, khoảng cách ABAB biến thiên nghiêm ngặt giữa 00 và 3\sqrt3, nên 0<a<30<a<\sqrt3. Đổi vai trò aa và 11 rồi co theo tỉ lệ 1/a1/a cho k=5k=5: 1/a<31/a<\sqrt3, hay a>1/3a>1/\sqrt3.