Math Labs

Bài 4

Một cung nửa đường tròn γ\gamma có đường kính ABAB. Gọi CC là điểm trên cung khác A,BA,B, và DD là chân đường vuông góc từ CC xuống ABAB. Ba đường tròn γ1,γ2,γ3\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 tiếp xúc với đường thẳng ABAB; γ1\gamma_1 nội tiếp tam giác ABCABC, còn γ2\gamma_2 và γ3\gamma_3 tiếp xúc với CDCD và γ\gamma, ở hai phía đối nhau của CDCD. Chứng minh ba đường tròn có một tiếp tuyến chung thứ hai.
Bước 1 trên 4: Ghi dữ kiện đường tròn nội tiếp
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Góc vuông làm các công thức độ dài tiếp tuyến quen thuộc trở nên đặc biệt đơn giản.

AB=c,BC=a,CA=b,r1=a+b−c2,AP=b+c−a2AB=c,\quad BC=a,\quad CA=b,\quad r_1=\frac{a+b-c}{2},\quad AP=\frac{b+c-a}{2}
Phân tích chi tiết

Vì ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ, các đoạn tiếp tuyến bằng nhau của đường tròn nội tiếp cho r1=(a+b−c)/2r_1=(a+b-c)/2. Nếu PP là tiếp điểm với ABAB thì AP=(b+c−a)/2AP=(b+c-a)/2 do hai tiếp tuyến từ AA bằng nhau.