Math Labs

Bài 6

Với các số thực x1,x2,y1,y2,z1,z2x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2 thỏa x1>0x_1>0, x2>0x_2>0, x1y1>z12x_1y_1>z_1^2 và x2y2>z22x_2y_2>z_2^2, chứng minh 8(x1+x2)(y1+y2)−(z1+z2)2≤1x1y1−z12+1x2y2−z22\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}. Hãy cho điều kiện cần và đủ để xảy ra dấu bằng.
Bước 1 trên 8: Đặt các định thức dương
Bước trướcBước tiếp
ai=xiyi−zi2>0(i=1,2)a_i=x_iy_i-z_i^2>0\quad(i=1,2)
Phân tích chi tiết

Đặt a1=x1y1−z12a_1=x_1y_1-z_1^2 và a2=x2y2−z22a_2=x_2y_2-z_2^2. Giả thiết cho a1,a2>0a_1,a_2>0. Ngoài ra y1,y2>0y_1,y_2>0 vì xi>0x_i>0 và xiyi>zi2≥0x_iy_i>z_i^2\ge0.