Math Labs

Bài 3

Cho dãy số thực 1=a0≤a1≤a2≤⋯1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots. Đặt bn=∑k=1n(1−ak−1ak)1akb_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}. (a) Chứng minh 0≤bn<20\le b_n<2 với mọi nn. (b) Với mọi bb thỏa 0≤b<20\le b<2, chứng minh tồn tại một dãy như vậy sao cho bn>bb_n>b với vô hạn nn.
Bước 1 trên 5: Viết lại từng số hạng
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Phân thức ban đầu thực chất là chiều rộng nhân chiều cao.

bn=sumk=1n(ak−ak−1)ak−3/2b_n=\\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})a_k^{-3/2}
Phân tích chi tiết

Vì 1−ak−1ak=ak−ak−1ak1-\frac{a_{k-1}}{a_k}=\frac{a_k-a_{k-1}}{a_k}, mỗi số hạng bằng (ak−ak−1)ak−3/2(a_k-a_{k-1})a_k^{-3/2}.