Math Labs

Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1970

Đề thi

  1. Bài 1Cho MM nằm trên cạnh ABAB của tam giác ABCABC. Gọi r1,r2,rr_1,r_2,r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của các tam giác AMCAMC, BMCBMC, ABCABC. Gọi q1,q2,qq_1,q_2,q là bán kính các đường tròn bàng tiếp của các tam giác ấy nằm trong góc ∠ACB\angle ACB. Chứng minh r1q1⋅r2q2=rq\frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac rq.Các cách giải: 2
  2. Bài 2Cho a,b,n>1a,b,n>1 là các số nguyên, trong đó a,ba,b là cơ số của hai hệ đếm. Dùng cùng các chữ số xn,…,x0x_n,\ldots,x_0, với xn≠0x_n\ne0 và xn−1≠0x_{n-1}\ne0, đặt An=xnxn−1⋯x0A_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0, An−1=xn−1⋯x0A_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0 trong cơ số aa, và Bn=xnxn−1⋯x0B_n=x_nx_{n-1}\cdots x_0, Bn−1=xn−1⋯x0B_{n-1}=x_{n-1}\cdots x_0 trong cơ số bb. Chứng minh An−1An<Bn−1Bn\frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n} khi và chỉ khi a>ba>b.Các cách giải: 1
  3. Bài 3Cho dãy số thực 1=a0≤a1≤a2≤⋯1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots. Đặt bn=∑k=1n(1−ak−1ak)1akb_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}}. (a) Chứng minh 0≤bn<20\le b_n<2 với mọi nn. (b) Với mọi bb thỏa 0≤b<20\le b<2, chứng minh tồn tại một dãy như vậy sao cho bn>bb_n>b với vô hạn nn.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Tìm tất cả số nguyên dương nn sao cho {n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5}\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\} có thể chia thành hai tập rời nhau với tích các phần tử bằng nhau.Các cách giải: 2
  5. Bài 5Trong tứ diện ABCDABCD, ∠BDC=90∘\angle BDC=90^\circ. Chân HH của đường vuông góc từ DD xuống mặt phẳng ABCABC là giao điểm các đường cao của △ABC\triangle ABC. Chứng minh (AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2). Khi nào xảy ra đẳng thức?Các cách giải: 1
  6. Bài 6Trong mặt phẳng có 100100 điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét mọi tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Chứng minh không quá 70%70\% số tam giác đó là tam giác nhọn.Các cách giải: 1