Bài 6

Trong mặt phẳng có

100

điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét mọi tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Chứng minh không quá

70\%

số tam giác đó là tam giác nhọn.

Bước 1 trên 4: Chặn cấu hình bốn điểm

Bước trước Bước tiếp

\#\{\text{acute triangles in any 4-point set}\}\le3

Phân tích chi tiết

Nếu bao lồi của bốn điểm là tứ giác, bốn góc trong có tổng $360^\circ$ , nên có ít nhất một góc không nhỏ hơn $90^\circ$ ; tam giác tương ứng không nhọn. Nếu bao lồi là tam giác với một điểm bên trong, ba góc quanh điểm trong có tổng $360^\circ$ , nên ít nhất hai góc không nhỏ hơn $90^\circ$ . Vậy mọi tập bốn điểm có nhiều nhất ba tam giác nhọn.