Math Labs

Bài 2

Trong tam giác ABCABC, chứng minh rằng tồn tại điểm DD trên cạnh ABAB sao cho CDCD là trung bình nhân của ADAD và DBDB khi và chỉ khi sin⁡Asin⁡B≤sin⁡2C2\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}.
Bước 1 trên 6: Phương tích của điểm DD
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Biến điều kiện đại số DC2=DA⋅DBDC^2=DA\cdot DB thành điều kiện hình học thuần túy DC=DEDC=DE giúp ta suy luận về vị trí một điểm trên một dây cung cố định thay vì tính toán độ dài.

DA⋅DB=DC⋅DEDA\cdot DB = DC\cdot DE
Phân tích chi tiết

Cho DD là một điểm bất kỳ trên cạnh ABAB, kéo dài đường thẳng CDCD để gặp lại đường tròn ngoại tiếp △ABC\triangle ABC tại EE. Theo hệ thức phương tích (dây cung cắt nhau) cho hai dây ABAB và CECE cắt nhau tại DD, ta có DA⋅DB=DC⋅DEDA\cdot DB = DC\cdot DE. Vậy CDCD là trung bình nhân của ADAD và DBDB, tức DC2=DA⋅DBDC^2=DA\cdot DB, đúng khi và chỉ khi DC=DEDC=DE.