Math Labs

Bài 3

Chứng minh rằng ∑k=0n(2n+12k+1)23k\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k} không chia hết cho 55 với mọi số nguyên n≥0n\ge0.
Bước 1 trên 5: Viết lại tổng theo mô-đun 55
Bước trướcBước tiếp
2nS=∑j=0n(2n+12j)2j(mod5)2^nS=\sum_{j=0}^{n}\binom{2n+1}{2j}2^j\pmod5
Phân tích chi tiết

Đổi chỉ số bằng cách đặt j=n−kj=n-k. Sau khi nhân với 2n2^n, số mũ trở thành 2n23(n−j)=24n−3j≡2j(mod5)2^n2^{3(n-j)}=2^{4n-3j}\equiv2^j\pmod5, nên 2nS=∑j=0n(2n+12j)2j2^nS=\sum_{j=0}^{n}\binom{2n+1}{2j}2^j theo mô-đun 55. Vì 2n2^n khác không modulo 55, chỉ cần chứng minh tổng mới khác không.