Math Labs

Bài 4

Xét các cách chia bàn cờ 8×88\times8 thành pp hình chữ nhật không giao nhau. Mỗi hình chữ nhật có số ô trắng bằng số ô đen. Nếu aia_i là số ô trắng trong hình chữ nhật thứ ii thì a1<a2<⋯<apa_1<a_2<\cdots<a_p. Tìm pp lớn nhất có thể và, với pp đó, tìm mọi dãy a1,…,apa_1,\ldots,a_p.
Bước 1 trên 5: Đếm các ô trắng
Bước trướcBước tiếp
a1+⋯+ap=32,32≥1+2+⋯+p=p(p+1)2a_1+\cdots+a_p=32,\qquad 32\ge1+2+\cdots+p=\frac{p(p+1)}2
Phân tích chi tiết

Toàn bộ bàn cờ có 3232 ô trắng. Vì hình chữ nhật thứ ii có aia_i ô trắng và các hình chữ nhật phủ toàn bàn, a1+⋯+ap=32a_1+\cdots+a_p=32. Các bất đẳng thức nghiêm ngặt cùng tính dương suy ra ai≥ia_i\ge i, nên 32≥1+2+⋯+p=p(p+1)/232\ge1+2+\cdots+p=p(p+1)/2.