Math Labs

Bài 5

Hãy xác định, có chứng minh, liệu có thể chọn 19751975 điểm trên đường tròn bán kính đơn vị sao cho khoảng cách giữa mọi cặp điểm đều là số hữu tỉ hay không.
Bước 1 trên 5: Chọn các góc tốt
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Dây cung của đường tròn đơn vị có độ dài 2sin⁡θ2\sin\theta khi θ\theta là nửa góc nội tiếp. Vì thế sin hữu tỉ cho dây cung hữu tỉ.

sin⁡θ∈Q,cos⁡θ∈Q\sin\theta\in\mathbb Q,\quad \cos\theta\in\mathbb Q
Một dây cung ứng với góc có sin và cos hữu tỉ trên đường tròn đơn vị
Đường tròn đơn vị với dây cung xác định bởi một góc có sin và cos hữu tỉ
Phân tích chi tiết

Mỗi bộ ba Pythagore nguyên thủy cho một điểm hữu tỉ (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta) trên đường tròn đơn vị, nên có vô số góc có cả sin và cos hữu tỉ. Gọi chúng là các góc tốt.