Math Labs

Bài 2

Cho P1(x)=x2−2P_1(x) = x^2 - 2 và Pj(x)=P1(Pj−1(x))P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x)) với j=2,3,…j = 2, 3, \ldots. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương nn, các nghiệm của phương trình Pn(x)=xP_n(x) = x đều là số thực và đôi một phân biệt.
Bước 1 trên 6: Thế biến và áp dụng công thức nhân đôi
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Ánh xạ x↦x2−2x\mapsto x^2-2 về bản chất chính là công thức nhân đôi của côsin được ngụy trang; nhận ra cấu trúc lượng giác ẩn này là chìa khóa giúp việc lặp P1P_1 trở nên dễ xử lý.

x=2cos⁡θ  ⟹  P1(x)=4cos⁡2θ−2=2cos⁡(2θ)x = 2\cos\theta \implies P_1(x) = 4\cos^2\theta - 2 = 2\cos(2\theta)
Điểm ứng với góc θ\theta trên đường tròn đơn vị, có hoành độ là cos⁡θ\cos\theta
Đường tròn đơn vị với một bán kính tạo góc $\theta$ với trục $x$ dương, minh họa phép thế $x=2\cos\theta$ dùng để tuyến tính hóa ánh xạ nhân đôi góc.
Phân tích chi tiết

Đặt x=2cos⁡θx=2\cos\theta. Khi đó P1(x)=x2−2=4cos⁡2θ−2=2(2cos⁡2θ−1)=2cos⁡(2θ)P_1(x)=x^2-2=4\cos^2\theta-2=2(2\cos^2\theta-1)=2\cos(2\theta), theo công thức nhân đôi cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1.