Math Labs

Bài 6

Dãy (un)(u_n) được xác định bởi u0=2u_0=2, u1=52u_1=\frac52 và un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 với n=1,2,…n=1,2,\ldots. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương nn, ⌊un⌋=22n−(−1)n3\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}, trong đó ⌊x⌋\lfloor x\rfloor là số nguyên lớn nhất không vượt quá xx.
Bước 1 trên 6: Ghi lại hệ thức truy hồi
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hệ thức truy hồi này được thiết kế phù hợp với đồng nhất thức (2r+2−r)2−2=22r+2−2r(2^r+2^{-r})^2-2=2^{2r}+2^{-2r}.

u0=2,u1=52,un+1=un(un−12−2)−u1u_0=2,\quad u_1=\frac52,\quad u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1
Phân tích chi tiết

Ta cần chứng minh công thức phần nguyên cho dãy với u0=2u_0=2, u1=52u_1=\frac52 và un+1=un(un−12−2)−u1u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 với n≥1n\ge1. Ý tưởng hữu ích là biểu diễn mỗi số hạng thành tổng của một lũy thừa của 22 và số nghịch đảo của lũy thừa đó.