Math Labs

Bài 4

Cho f(θ)=1−acos⁡θ−bsin⁡θ−Acos⁡2θ−Bsin⁡2θf(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta, trong đó a,b,A,Ba,b,A,B là số thực. Chứng minh rằng nếu f(θ)≥0f(\theta)\ge0 với mọi θ\theta thực thì a2+b2≤2a^2+b^2\le2 và A2+B2≤1A^2+B^2\le1.
Bước 1 trên 3: Cô lập họa âm bậc hai
Bước trướcBước tiếp
f(θ)+f(θ+π)=2−2Acos⁡2θ−2Bsin⁡2θ≥0f(\theta)+f(\theta+\pi)=2-2A\cos2\theta-2B\sin2\theta\ge0
Phân tích chi tiết

Các hạng tử chứa a,ba,b triệt tiêu khi dịch góc π\pi. Do đó Acos⁡2θ+Bsin⁡2θ≤1A\cos2\theta+B\sin2\theta\le1 với mọi θ\theta. Biên độ lớn nhất là A2+B2\sqrt{A^2+B^2}, suy ra A2+B2≤1A^2+B^2\le1.