Math Labs

Bài 1

Cho mm và nn là các số nguyên dương với 1≤m<n1 \le m < n. Trong biểu diễn thập phân, ba chữ số cuối của 1978m1978^m bằng ba chữ số cuối của 1978n1978^n. Tìm mm và nn sao cho m+nm+n đạt giá trị nhỏ nhất.
Bước 1 trên 8: Chuyển điều kiện chữ số thành một đồng dư thức
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

"Ba chữ số cuối giống nhau" chính là một đồng dư modulo 1000.

1978n≡1978m(mod1000)  ⟺  1978m(1978 n−m−1)≡0(mod1000)1978^n \equiv 1978^m \pmod{1000} \iff 1978^m\left(1978^{\,n-m}-1\right)\equiv 0 \pmod{1000}
Phân tích chi tiết

Hai số nguyên dương có ba chữ số cuối giống nhau khi và chỉ khi hiệu của chúng chia hết cho 10001000. Áp dụng điều này cho 1978n1978^n và 1978m1978^m rồi đặt nhân tử chung 1978m1978^m ra ngoài, ta được điều kiện nhân tương đương.