Math Labs

Bài 2

Cho tam giác không cân A1A2A3A_1A_2A_3 có các cạnh a1a_1, a2a_2, a3a_3, trong đó cạnh aia_i đối diện đỉnh AiA_i. Gọi MiM_i là trung điểm cạnh aia_i, và TiT_i là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác A1A2A3A_1A_2A_3 với cạnh aia_i. Kí hiệu SiS_i là điểm đối xứng của TiT_i qua đường phân giác trong của góc AiA_i. Chứng minh rằng các đường thẳng M1S1M_1S_1, M2S2M_2S_2 và M3S3M_3S_3 đồng quy.
Bước 1 trên 8: Phản xạ qua đỉnh A1A_1 giữ nguyên đường tròn nội tiếp và hoán đổi hai tiếp điểm
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Đường tròn nội tiếp chính là gương tự nhiên ở đây: mọi phép đối xứng giữ nguyên tâm nội tiếp đều tự động giữ nguyên đường tròn đó, nên các tiếp điểm chỉ có thể biến thành các điểm khác trên cùng đường tròn.

T1→ reflect in A1I S1,T2⟷T3T_1 \xrightarrow{\ \text{reflect in } A_1I\ } S_1, \qquad T_2 \longleftrightarrow T_3
Phân tích chi tiết

Gọi II là tâm nội tiếp và ω\omega là đường tròn nội tiếp. Phép đối xứng qua đường phân giác trong của góc A1A_1 giữ nguyên II, do đó giữ nguyên ω\omega, và hoán đổi hai cạnh đi qua A1A_1 là A1A2A_1A_2 và A1A3A_1A_3. Theo định nghĩa, phép đối xứng này biến T1T_1 thành S1S_1; vì nó cũng hoán đổi hai cạnh chứa T2T_2 và T3T_3 nên nó cũng hoán đổi luôn hai tiếp điểm này.