MathLabs

Bài 3

Xét các dãy vô hạn {xn}\{x_n\} số thực dương sao cho x0=1x_0=1 và x0≥x1≥x2≥⋯x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots. (a) Chứng minh rằng với mọi dãy như vậy tồn tại n≥1n\ge1 sao cho Sn=x02x1+x12x2+⋯+xn−12xn≥3.999S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. (b) Tìm một dãy sao cho Sn<4S_n<4 với mọi nn.
Bước 1 trên 4: Áp dụng Cauchy–Schwarz
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nhiều phân thức được gộp thành một tỉ số của hai tổng đơn giản.

Sn=∑i=1nxi−12xi≥(x0+⋯+xn−1)2x1+⋯+xnS_n=\sum_{i=1}^n\frac{x_{i-1}^2}{x_i}\ge\frac{(x_0+\cdots+x_{n-1})^2}{x_1+\cdots+x_n}
Phân tích chi tiết

Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel cho chặn dưới đã nêu.