Math Labs

Bài 3

Cho a,b,ca,b,c là các số nguyên dương, không hai số nào có ước chung lớn hơn 11. Chứng minh 2abc−ab−bc−ca2abc-ab-bc-ca là số nguyên lớn nhất không thể biểu diễn dưới dạng xbc+yca+zabxbc+yca+zab, trong đó x,y,zx,y,z là các số nguyên không âm.
Bước 1 trên 5: Giả sử NN biểu diễn được
Bước trướcBước tiếp
N=2abc−ab−bc−ca≡−bc(moda)N=2abc-ab-bc-ca\equiv -bc\pmod a
Phân tích chi tiết

Giả sử N=xbc+yca+zabN=xbc+yca+zab. Lấy modulo aa được xbc≡−bc(moda)xbc\equiv-bc\pmod a. Vì gcd⁡(a,bc)=1\gcd(a,bc)=1, suy ra x≡−1(moda)x\equiv-1\pmod a, nên x≥a−1x\ge a-1. Luân phiên, y≥b−1y\ge b-1 và z≥c−1z\ge c-1.