Bài 1

Cho

x,y,z

là các số thực không âm thỏa mãn

x+y+z=1

. Chứng minh rằng

0\le xy+yz+zx-2xyz\le\frac{7}{27}

Bước 2 trên 4: Quy về hai tham số

Hiểu nôm na

Khi tổng của hai biến cố định, tích của chúng lớn nhất khi hai biến bằng nhau; nhờ vậy bài toán ba biến trở thành kiểm tra biên một biến.

s=x+y,\quad p=xy,\quad f=s-s^2+p(2s-1),\quad 0\le p\le s^2/4

Phân tích chi tiết

Thay $z=1-s$ . Khi đó biểu thức cần xét là $f=s-s^2+p(2s-1)$ . Với $s$ cố định, AM-GM cho $p=xy$ và $0\le p\le s^2/4$ .