Math Labs

Bài 2

Tìm một cặp số nguyên dương a,ba,b sao cho ab(a+b)ab(a+b) không chia hết cho 77, nhưng (a+b)7−a7−b7(a+b)^7-a^7-b^7 chia hết cho 777^7.
Bước 1 trên 3: Phân tích hiệu các lũy thừa bậc bảy
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Lũy thừa bậc bảy cung cấp một thừa số bảy; bình phương cung cấp thêm sáu thừa số nếu cơ số của nó chia hết cho 737^3.

(a+b)7−a7−b7=7ab(a+b)(a2+ab+b2)2(a+b)^7-a^7-b^7=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2
Phân tích chi tiết

Khai triển (a+b)7(a+b)^7 rồi nhóm các hạng giữa cho đẳng thức trên. Vì 7ab(a+b)7ab(a+b) chỉ đóng góp đúng một thừa số 77 khi 7∤ab(a+b)7\nmid ab(a+b), ta chỉ cần làm cho nhân tử bậc hai chia hết cho 737^3.